人教版“勾股定理的应用”课堂实录

课前复习

师：勾股定理的内容是什么？

生：勾股定理　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

师：这个定理为什么是两直角边的平方和呢？

生：斜边是最长边，肯定是两个直角边的平方和等于斜边的平方，否则不正确的。

师：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC²+BC²＝AB²，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

今天我们来看看这个定理的应用。

新课过程

分析：

师：上面的探究，先请大家思考如何做？

（留几分钟的时间给学生思考）

师：看到这个题让我们想起古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，相信同学们不会这样做。

（我略带夸张的比划、语气，学生笑声一片，有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，我观察课堂气氛比较轻松，这也正是我所希望氛围，在这样的情况下，学生更容易掌握知识）

师：这里木板横着不能进，竖着不能进，只能试试将木板斜着顺进去。

师：应该比较什么？

李冬：这是一块薄木板，比较AC的长度，是否大于2.2就可以了。[NextPage]

师：李冬说的是正确的。请大家算出来，可以使用计算器。

解：在RtΔABC中，由题意有：

　　AC＝＝≈2.236

　　∵AC大于木板的宽

　　∴薄木板能从门框通过。

学生进行练习：

1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∠B=90゜.

①已知a=5，b=12，求c；

②已知a=20，c=29，求b

（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a²+b²＝c²，要根据本质来看问题）

2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？

师：对第二问有什么想法？

生：分情况进行讨论。

师：具体说说分几种情况讨论？

生：①3cm和4cm分别是直角边；②4cm是斜边，3cm是直角边。

师：呵呵，你们漏了一种情况，还有3cm是斜边，4cm是直角边的这种情况。

众生（顿感机会难得，能有一次战胜老师的机会哪能放过）：啊！斜边应该大于直角边的。这种情况是不可能的。

师：你们是对的，请把这题计算出来。

（学生情绪高涨，为自己的胜利而高兴）

（这样处理对有的学生来说，印象深刻，让每一个地方都明白无误）

解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；

　　斜边＝＝10

　　∴周长为：6+8+10＝24cm

②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，

　　另一直角边＝ ＝2

　　周长为：6+8+2＝14+2

师：如图，看上面的探究2。[NextPage]

分析：

师：请大家思考，该如何去做？

陈晓玲：运用勾股定理，已知AB、BO，算出AO的长度，又∵A点下滑了0.4米，再算出OC的长度，再利用勾股定理算出OD的长度即可，最后算出BD的长度就能知道了。

师：这个思路是非常正确的。请大家写出过程。

有生言：是0.4米。

师：猜是0.4米，就是想当然了，算出来看看，是不是与你的猜测一样。

（周飞洋在黑板上来做）

解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中

　　∴AO＝＝2.4（米）

　　又∵下滑了0.4米

　　∴OC＝2.0米

在RtΔODC中

∴OD＝=1.5（米）

∴外移BD＝0.8米

答：梯足将外移0.8米。

师：这与有的同学猜测的答案一样吗？

生：不一样。

师：做题应该是老老实实，不应该想当然的。

例3 再来看一道古代名题：

这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：

原题：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”

师：谁来给大家说一说：“葭”如何读？并请解释是什么意思？

黄尚剑：葭（jiā），是芦苇的意思。

师：这是正确的。

师：谁来翻译？

吴智勇：现在有一个正方形的池子，一株芦苇长在水中央，露出水面的部分为一尺，拉芦苇到岸边，刚好与搭在岸上……

师：听了吴智勇的翻译，我觉得“适与岸齐”翻译得不达意，应该理解为芦苇与水面与岸的交接线的中点上。[NextPage]

宋婷等：老师，我也认为是刚好到岸边，“齐”就是这个意思的。

师：这是字表面的意思，古人的精炼给我们今天的理解带来了困难，如果照同学们的翻译，这题就无解了，这理的理解应该是芦苇与水面同岸的交接线的中点上，而且还要求不左偏右倒。

（与学生进行争论，能够让师生双方对这个问题都有更深刻的印象，我是欢迎学生们发表自己的见解）

师：正方形的池子，如何理解？

生：指长、宽、高都相等。

师：呵呵！照你们的看法，应该说成是正方体，而不应该是正方形了？再想想，池子的下方是什么形？

生：照这样说来，下面是其它形状也可以啊！

师：我也这样认为，再来具体的说说正方形池子指什么？

生：仅指池口是正方形。

师：是这样的。（用粉笔盒口演示给学生看）

有生：一丈10尺是指什么？

师：我也正想问这个问题呢，谁能来解答？

生：指AD的长度。

师：能指BC的长度吗？

生：不能，刚说的其下方是不能确定的。

我们整理翻译一下：

“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？

师：请大家思考如何进行计算？

（留几分钟的时间给学生思考）

师：刚才有一部分同学已经做出来了，但还有约一半的同学还未能做出来。[NextPage]

师：没做出来的同学，请思考你是不是遇到了EF与FD两个未知数啊，一是想想1尺有什么用；二是如何把两个未知数变成一个未知数，当然也可以多列一个方程。

（再等一等学生，留时间让他们做出来，这里等一等所花费的时间，对中等与中等偏下的同学是极为有利的，这点时间的付出会得到超值回报的）

解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。

设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺

由勾股定理有：

x²+5²＝（x+1）²

解之得：x＝12

答：水深12尺，芦苇长13尺。

生：这题的关键是理解题意。

师：看来还很会点评嘛，属于当领导的哦!（开个善意的玩笑，教室中一片温馨的笑声）。审题，弄清题意也是我们做题的首要的关键的一环，用同学们的总结来说，以后遇到难题不要怕，要敢于深入进去，弄清情景。

例4　如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

师：请思考如何做？至少怎么理解？

生：走直线就短，用勾股定理就可以了，还要做辅助线。

师：是啊，要连哪些线？

生：连结两树顶得AB，过B作高树的垂线就可以了。

师：请解出来。

解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。

在RtΔABC中

AB＝＝13

答：小鸟至少要飞13米。

师：这题的计算也不难，关键也是理解题意。

作业：完成书（人教版）P77页1，P78页2、3