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两种解法妙在何处

作者：周凌峰　李　兴　 　时间：2007-10-21　　　　本文热度：　　　　等级：★★★
　　运动的合成与分解是高中物理的重要组成部分，也是解决力学问题十分有效的方法之一。特别是当问题涉及到两个相互关联的物体不在同一直线上运动时，许多同学对此感到力不从心，无法下手。笔者在教学实践中总结出两种行之有效的方法，现以一道习题加以说明这两种解法的奥妙之处。
　　例题 如图1所示，质量均为m的A、B两环，用一条长为L=0.4m的细绳相连后，分别套在光滑的水平细杆OP和光滑的竖直细杆OQ上。现将细绳拉直使环A和B从同一高度由静止释放，当A、B两环运动到使细绳与水平细杆OP成θ=30°角时，试求此时A、B两环的速度大小。
　　分析 A、B两环组成的系统遵守能量的转化和守恒定律，即A环减少的重力势能等于A、B两环增加的动能。欲求A环和B环的速度大小vA和vB，还应明确vA和vB之间的定量关系，而这一关系的确立对解决本题至关重要。具体解法如图2所示，A环的实际运动方向沿OQ杆竖直向下，即A环的合速度vA的方向是竖直向下的，将vA沿着绳和垂直于绳两个方向进行分解，可得A环沿细绳方向的分速度v绳=vAsinθ;同理可将B环的速度分解得v′绳=vBcosθ,由于细绳不可伸长，故v绳=v′绳，即vAsinθ=vBcosθ，上式变形得：vB=vAtanθ①
　　再对A、B两环所组成的系统应用机械能守恒定律列方程得：
　　
　　由①②两式联立并代入数据得：
　　
　　该解法的巧妙之处在于成功地利用了A环和B环同时参与沿细绳方向上的分运动，该方向上的分速度相等，从而确立了vA和vB之间的定量关系，为正确解题作了良好的铺垫。
　　解法2 导数法
　　高中数学教学大纲已将导数列为高考考查范围，事实上有很多物理问题可以用导数知识加以解决。象本题所涉及到的速度，从导数的角度来定义：速度等于位移对时间的导数。本人在教学过程中经常渗透这种数学思想，收到了良好的教学效果，现将该解法介绍如下：
　　如图3所示，从两环开始运动到细绳与水平方向成任意夹角α时，设A环发生的位移为y，B环发生的位移为x，则
　　
　　根据速度的定义，则
　　
　　通过这种解法的训练，可以培养学生应用数学知识解决物理问题的能力，极大地拓宽了学生的思维，既符合高考的要求，又丰富了物理问题的数学内涵。
　　
　　.

　
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