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巧用“动态圆”处理带电粒子在磁场中的运动问题

作者：彭俊昌　 　时间：2007-10-21　　　　本文热度：　　　　等级：★★★
　　处理带电粒子在匀强磁场中的运动问题,一种重要的方法是作图法:作出粒子的运动轨迹,找到它的圆心,再由平面几何的知识列出几何关系的方程。而当粒子在磁场中运动的方向可变时,运用作“动态圆”的方法可以较快的解决问题。下面通过几道例题的分析来说明这种方法的运用。
　　例1 (2005年全国理综高考第20题)如图1所示,在一块水平放置的平板MN的上方有匀强磁场,磁感应强度大小为B,磁场方向垂直纸面向里。许多质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域。不计重力,不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mvBq。哪个图是正确的?
　　
　　解析 因为带电粒子的速率方向可变,所以它们在磁场中的运动轨迹是通过O点的一系列圆弧。如图2所示，阴影部分即为带电粒子可能出现的区域。故正确答案为A。
　　例2 纸面内水平线MN的下方存在垂直于纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场。在MN线上某点O的正下方与O点相距为L的质子源S,可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v=BeL/m的质子,如图所示。质子的重力不计。试画出MN线下方有质子出现的区域。
　　
　　解析 质子作圆周运动的向心力由洛仑兹力提供,即:evB=mv2r,所以质子作圆周运动的半径为:r=mveB=meB·eBLm=L。因质子源可在纸面内360°范围内发射,所有轨迹都应通过S点,所以这些轨迹圆弧的圆心均在圆周a上。以圆弧a上的一系列点为圆心作出一系列圆弧,这些圆弧与MN的交点离O点最远为A点和B点,这些圆弧过S点的直径的另一端的连线为实线圆弧AdC,圆弧BcC为另一边界线.所以质子可能出现的区域如图中阴影部分所示。
　　例3 在真空中半径r=3cm的圆形区域内有一匀强磁场,磁场的磁感应强度B=0.2T,方向如图5所示。一带负电的粒子以初速度v0=3.0×105m/s,从磁场边界上直径的一端a向着各个方向射入磁场,且速度方向与磁场方向垂直。已知粒子的比荷q/m=1.0×108C/kg,不计重力。试画出粒子在磁场中可能出现的区域。
　　
　　解析 粒子在磁场中作圆周运动的向心力由洛仑兹力提供:qvB=mv2r,所以粒子作圆周运动的半径为:r=mvqB=1.5cm。它们的运动轨迹为过O点的一系列半径r=1.5cm的圆弧,圆弧acO为最上面的边界线,将过O点的一系列轨迹圆弧的直径的另一端连接起来,得到另一条边界线为圆弧Od。所以粒子在磁场中可能出现的区域为图6中的阴影部分。
　　另外,以上各题中还可根据具体条件求出阴影部分的面积。
　　
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