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与“功能关系”有关的几点讨论

作者：甘红宝　 　时间：2007-8-1　　　　本文热度：　　　　等级：★★★

　　功和能是两个联系密切的物理量，做功的过程伴随着能量的改变，力对物体做了多少功，物体的能量就改变多少，即W=ΔE，这就是功能关系。功能关系贯穿于物理学的各个章节，其中重力场、电场、磁场三部分应用最多。笔者在教学过程中发现，学生在使用功能关系W=ΔE解题时并不熟练，有时思路还显得比较紊乱，究其原因，是因为他们不清楚到底什么力做功等于物体哪种能量的改变。现通过一个实例的详细推导，理清各量在推导过程中的变化，从中体会其内在联系。
　　例 如图1所示，空间存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场的场强为E，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、带电量为+q的小球在外力F的作用下从位置1运动到位置2，速度由v1变为v2，高度由h1变为h2，试分析此过程中的功能转化关系。（设地面处为高度和电势的零点）
　　
　　解 小球在运动过程中所受洛仑兹力不做功，而重力、电场力做功与路径无关，只与小球初、末位置有关。由动能定理得：
　　
　　所以WF=(12mv22+mgh2+qEh2)-(12mv21+mgh1+qEh1)。
　　在匀强电场中，U=Ed,则：
　　WF=（12mv22+mgh2+qφ2）-(12mv21+mgh1+qφ1)。①
　　由推导过程可以看出：重力功、电场力功经过移项以重力势能差和电势能差体现出来。由此可以得到以下结论：
　　（1）除重力、电场力外的力对物体所做的功等于物体机械能增量与电势能增量之和。
　　若WF=0，则①变为：
　　12mv22+mgh2+qφ2=12mv21+mgh1+qφ1。②
　　即只有重力、电场力做功的情况下，物体的机械能和电势能之和守恒。
　　（2）若不存在电场，则①变为：
　　WF=(12mv22+mgh2)-(12mv21+mgh1)。③
　　即除重力外的力对物体所做的功等于物体机械能的增量。
　　若WF=0，则③变为：
　　
　　即在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能相互转化，但总机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。
　　（3）若不存在重力场（重力可忽略不计的情况），则①变为：
　　WF=（12mv22+qφ2）-（12mv21+qφ1）。⑤
　　即除电场力外的力对物体所做的功等于物体动能增量与电势能增量之和。
　　若WF=0，则⑤变为：
　　
　　即在只有电场力做功的情况下，物体的动能和电势能相互转化，但动能和电势能的总量保持不变。
　　综上所述，总结所有功能关系，有如下几点结论：
　　①动能的变化看合外力的功；
　　②重力势能的变化看重力的功；
　　③电势能的变化看电场力的功；
　　④机械能的变化看除重力外的其它力的功；
　　⑤动能和电势能总量的变化看除电场力外
　　的其它力的功；
　　⑥重力势能和电势能总量的变化看重力功、电场力功之和；
　　⑦机械能和电势能总量的变化看除重力、电场力外的其它力的功；
　　①、④、⑤、⑦中功为正，相应物理量增加；功为负，相应物理量减少。②、③、⑥中则相反，功为正，相应物理量减少；功为负，相应物理量增加。当然，若功为零，则上述所有结论中相应物理量保持不变。
　　还可以看出，由于洛仑兹力不做功，磁场的存在与否不影响上述所有结论。
　　下面用上述推论分析几个具体的例子来体会它在解题中的应用。
　　例1 质量为m的物体，由静止开始下落，由于阻力的作用，下落的加速度为45g，在物体加速下落高度为h的过程中，下列说法正确的是
　　A.物体的动能增加了45mgh。
　　B.物体的机械能减少了45mgh。
　　C.物体的重力势能减少了mgh。
　　D.物体克服阻力做功为15mgh。
　　解析 F合=ma=45mg,所以W合=45mgh，由推论①知A正确；而F合=mg-f，故f=15mg,W阻=-15mgh，D正确；同时由推论④知物体的机械能减少了15mgh，B错；由推论②易知C正确。所以答案为：BCD。
　　例2 在如图2所示的匀强

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