您现在的位置： 不等式变形过程中的等价性
作者：朱水根 更新日期：2007-10-21 点击数： 等级：
在求解不等式的过程中，我们经常会碰到一个等价变形的问题.而事实上，求解不等式的过程就是一个把不等式由高次等价转化为低次，由带分式、根式、绝对值符号等形式的不等式渐渐等价变形为整式不等式的过程.在具体的教学实践中，我们经常会发现，很多学生对变形等价性问题关注太少，所以在具体解决问题时会出现许多漏洞.笔者结合平时教学中的几个案例，谈谈自己的认识.
一、绝对值不等式变形时的等价与不等价
这时，笔者便让甲同学来谈他的想法，甲同学说他刚才做题时自己粗心，忘记讨论了，他也觉得应该进行讨论.笔者于是反问大家道：那甲同学的答案却与正确答案一样啊，难道仅仅只是巧合吗？经过思考，乙同学说：老师，我知道了，解不等式本身就是把有解的情况找出来，当x2-x-5≤0时，不等式的解集是空集，所以不用考虑.而当x2-x-5＞0时，就可以套用公式如甲同学这般做了，所以甲同学只要把条件x2-x-5＞0添上去就对了.
师：乙同学说得很好，但是，我再问一句，在甲同学这种做法中，到底有没有必要把x2-x-5＞0这点再加进去了？
生：（恍然大悟）对了，式子-x2+x+5＜2x-1＜x2-x-5，其实已经包括了x2-x-5＞0，因为由-x2+x+5＜x2-x-5，移项整理就可得x2-x-5＞0.甲同学这样做还真给他歪打正着了.
能否对｜x｜＞a直接套用得：x＞a或x＜-a，而对a的正负性不进行讨论？
举个简单例子：一方面，｜x｜＞-8的解集显然是R.另一方面，直接套用结论可得：
x＞-8或x＜-（-8），即x＞-8或x＜8，求并集可知，它与实数集合R显然等价.
又如解不等式｜2x-1｜＞x2-x-5，对x2-x-5的正负性不作讨论而直接套用结论得：
2x-1＞x2-x-5或2x-1＜-x2+x+5,整理得,x2-3x-4＜0或x2+x-6＜0,所以有:-1＜x＜4或-3＜x＜2,求并集得-3＜x＜4.这与分情况讨论出来的正确结论吻合.
结论1 不等式｜x｜＜a与不等式-a＜x＜a等价,不论a为何值.｜x｜＞a也类同.所以在做题时不必对a进行讨论,直接可套用结论.
结论2 不等式｜x｜＜a与不等式x2＜a2不等价,｜x｜＞a与x2＞a2也不等价.
∵当a＜0时,｜x｜＜a的解集为,而x2＜a2的解集是{x｜-｜a｜＜x＜｜a｜},不为.
当a＜0时,｜x｜＞a的解集为R,而x2＞a2的解集是{x｜x＞｜a｜或x＜-｜a｜＝,不为R.
当a≥0时,以上式子分别等价.
二、含简单根式的不等式变形时的等价与不等价
在课堂上,笔者问学生这样解答有没有问题,许多同学觉得这样变形、整理,每一步都正确,计算也没有丝毫差错,所以没问题.笔者反问道,那请你把解答中的x＜-3部分,代回原不等式,不等式成立吗?这时候,大家才发现错误出来了,却找不到究竟是在哪一步出现了问题.其实,由(1)式的确可以推出(2)式,但是由(2)式却倒回不了(1)式,所以这样的变形是不等价的.关键是(1)式中明显蕴含着1+x＞0的信息了.所以正确的做法是应该在(2)式中补上1+x＞0.
总之，式子变形的等价性问题是我们学习数学时必须处理好的问题，不仅在不等式变形时存在这样的问题，在处理数学学科的其他知识点也会经常遇到.希望同学们在解题时能独具慧眼，发现并处理好数学问题中蕴涵的等价性.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
一、绝对值不等式变形时的等价与不等价
这时，笔者便让甲同学来谈他的想法，甲同学说他刚才做题时自己粗心，忘记讨论了，他也觉得应该进行讨论.笔者于是反问大家道：那甲同学的答案却与正确答案一样啊，难道仅仅只是巧合吗？经过思考，乙同学说：老师，我知道了，解不等式本身就是把有解的情况找出来，当x2-x-5≤0时，不等式的解集是空集，所以不用考虑.而当x2-x-5＞0时，就可以套用公式如甲同学这般做了，所以甲同学只要把条件x2-x-5＞0添上去就对了.
师：乙同学说得很好，但是，我再问一句，在甲同学这种做法中，到底有没有必要把x2-x-5＞0这点再加进去了？
生：（恍然大悟）对了，式子-x2+x+5＜2x-1＜x2-x-5，其实已经包括了x2-x-5＞0，因为由-x2+x+5＜x2-x-5，移项整理就可得x2-x-5＞0.甲同学这样做还真给他歪打正着了.
能否对｜x｜＞a直接套用得：x＞a或x＜-a，而对a的正负性不进行讨论？
举个简单例子：一方面，｜x｜＞-8的解集显然是R.另一方面，直接套用结论可得：
x＞-8或x＜-（-8），即x＞-8或x＜8，求并集可知，它与实数集合R显然等价.
又如解不等式｜2x-1｜＞x2-x-5，对x2-x-5的正负性不作讨论而直接套用结论得：
2x-1＞x2-x-5或2x-1＜-x2+x+5,整理得,x2-3x-4＜0或x2+x-6＜0,所以有:-1＜x＜4或-3＜x＜2,求并集得-3＜x＜4.这与分情况讨论出来的正确结论吻合.
结论1 不等式｜x｜＜a与不等式-a＜x＜a等价,不论a为何值.｜x｜＞a也类同.所以在做题时不必对a进行讨论,直接可套用结论.
结论2 不等式｜x｜＜a与不等式x2＜a2不等价,｜x｜＞a与x2＞a2也不等价.
∵当a＜0时,｜x｜＜a的解集为,而x2＜a2的解集是{x｜-｜a｜＜x＜｜a｜},不为.
当a＜0时,｜x｜＞a的解集为R,而x2＞a2的解集是{x｜x＞｜a｜或x＜-｜a｜＝,不为R.
当a≥0时,以上式子分别等价.
二、含简单根式的不等式变形时的等价与不等价
在课堂上,笔者问学生这样解答有没有问题,许多同学觉得这样变形、整理,每一步都正确,计算也没有丝毫差错,所以没问题.笔者反问道,那请你把解答中的x＜-3部分,代回原不等式,不等式成立吗?这时候,大家才发现错误出来了,却找不到究竟是在哪一步出现了问题.其实,由(1)式的确可以推出(2)式,但是由(2)式却倒回不了(1)式,所以这样的变形是不等价的.关键是(1)式中明显蕴含着1+x＞0的信息了.所以正确的做法是应该在(2)式中补上1+x＞0.
总之，式子变形的等价性问题是我们学习数学时必须处理好的问题，不仅在不等式变形时存在这样的问题，在处理数学学科的其他知识点也会经常遇到.希望同学们在解题时能独具慧眼，发现并处理好数学问题中蕴涵的等价性.
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