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作者：杨 钊 更新日期：2007-10-21 点击数： 等级：
现实世界中的同类量之间，有相等关系，也有不等关系，反映在数学上就是等式和不等式.函数、方程、不等式是中学数学中的三大知识点，而函数与方程又都是等式.让我们通过已经学习过的内容看看它们之间有什么关系.
1 等式与不等式的性质
2 解方程与解不等式
常见方程与不等式的类型有：一元一次方程与一元一次不等式，一元二次方程与一元二次不等式，分式方程与分式不等式，高次方程与高次不等式，无理方程与无理不等式，指数方程与指数不等式，对数方程与对数不等式，含有绝对值的方程与含有绝对值的不等式，三角方程与三角不等式等.
它们的解法也是相对应的.通法为：先保证方程或不等式有意义，然后利用函数的性质（单调性、周期性等）去掉函数符号.
方程组的解集是构成方程组的各个方程的解集的交集，不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式的解集的交集.
3 图象法解方程f(x)=0与解不等式f(x)>0或f(x)<0
方程f(x)=0的解是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，不等式f(x)>0或f(x)<0的解集是函数y=f(x)的图象位于x轴的上方或x轴的下方的部分所对应的x的集合.
4 图象法解方程f(x)=g(x)与解不等式f(x)>g(x)或f(x)
方程f(x)= g(x)的解是函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标，不等式f(x)> g(x)或f(x)< g(x)的解集是函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象上方或函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象下方的部分所对应的x的集合.
5 等式的证明与不等式的证明
不等式的证明与等式的证明方法也是相同的，具体的方法有：比较法（作差、作商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法（一边证到一边、两边归一）、换元法、函数法等.
6 含参方程有解与含参不等式恒成立
含参不等式恒成立求参数的取值范围，可转化为求函数的最值；含参方程有解求参数的取值范围，可转化为求函数的值域.
7 求变量的取值范围或最值
求变量的取值范围或最值，可以建立该变量的目标函数，通过求函数的值域或最值得到该变量的取值范围或最值；或寻找该变量所满足的不等式，通过求不等式的解得到该变量的取值范围或最值.
8 曲线与方程和区域与不等式
二元方程f(x,y)=0与平面曲线C,如果满足：
（1）方程的解作为坐标的点都在曲线C上；
（2）曲线C上点的坐标都是方程的解.
那么，我们就说方程f(x,y)=0是曲线C的方程，曲线C是方程f(x,y)=0的曲线.
二元不等式f(x,y)>0与平面区域D,如果满足：
（1）不等式的解作为坐标的点都在区域D上；
（2）区域D上点的坐标都是不等式的解.
那么，我们就说不等式f(x,y)>0是区域D的不等式，区域D是不等式f(x,y)>0的区域.
下面举例说明如何运用二元不等式确定解的区域.
例 求区域｜x｜+｜y｜≤1的面积.
分析 借助由方程研究曲线的方法，把x换成-x不等式不变，把y换成-y不等式不变，所以该区域关于x轴、y轴对称，因此只需求出该区域在第一象限部分的面积.区域在第一象限的部分（如右图阴影部分所示）可表示为：
x≥0,y≥0,x+y≤1.其面积为12,故整个区域的面积为2.
由上面可以看出等式和不等式是并列的平行关系.在研究等式时可以借鉴不等式的有关理论和方法，在解决不等式问题时可以参考等式的有关理论和方法.两者之间可以相互借鉴，互为补充，这样就可以开阔思路，可以更加灵活有效地解决等式与不等式问题.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
1 等式与不等式的性质
2 解方程与解不等式
常见方程与不等式的类型有：一元一次方程与一元一次不等式，一元二次方程与一元二次不等式，分式方程与分式不等式，高次方程与高次不等式，无理方程与无理不等式，指数方程与指数不等式，对数方程与对数不等式，含有绝对值的方程与含有绝对值的不等式，三角方程与三角不等式等.
它们的解法也是相对应的.通法为：先保证方程或不等式有意义，然后利用函数的性质（单调性、周期性等）去掉函数符号.
方程组的解集是构成方程组的各个方程的解集的交集，不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式的解集的交集.
3 图象法解方程f(x)=0与解不等式f(x)>0或f(x)<0
方程f(x)=0的解是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，不等式f(x)>0或f(x)<0的解集是函数y=f(x)的图象位于x轴的上方或x轴的下方的部分所对应的x的集合.
4 图象法解方程f(x)=g(x)与解不等式f(x)>g(x)或f(x)
方程f(x)= g(x)的解是函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标，不等式f(x)> g(x)或f(x)< g(x)的解集是函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象上方或函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象下方的部分所对应的x的集合.
5 等式的证明与不等式的证明
不等式的证明与等式的证明方法也是相同的，具体的方法有：比较法（作差、作商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法（一边证到一边、两边归一）、换元法、函数法等.
6 含参方程有解与含参不等式恒成立
含参不等式恒成立求参数的取值范围，可转化为求函数的最值；含参方程有解求参数的取值范围，可转化为求函数的值域.
7 求变量的取值范围或最值
求变量的取值范围或最值，可以建立该变量的目标函数，通过求函数的值域或最值得到该变量的取值范围或最值；或寻找该变量所满足的不等式，通过求不等式的解得到该变量的取值范围或最值.
8 曲线与方程和区域与不等式
二元方程f(x,y)=0与平面曲线C,如果满足：
（1）方程的解作为坐标的点都在曲线C上；
（2）曲线C上点的坐标都是方程的解.
那么，我们就说方程f(x,y)=0是曲线C的方程，曲线C是方程f(x,y)=0的曲线.
二元不等式f(x,y)>0与平面区域D,如果满足：
（1）不等式的解作为坐标的点都在区域D上；
（2）区域D上点的坐标都是不等式的解.
那么，我们就说不等式f(x,y)>0是区域D的不等式，区域D是不等式f(x,y)>0的区域.
下面举例说明如何运用二元不等式确定解的区域.
例 求区域｜x｜+｜y｜≤1的面积.
分析 借助由方程研究曲线的方法，把x换成-x不等式不变，把y换成-y不等式不变，所以该区域关于x轴、y轴对称，因此只需求出该区域在第一象限部分的面积.区域在第一象限的部分（如右图阴影部分所示）可表示为：
x≥0,y≥0,x+y≤1.其面积为12,故整个区域的面积为2.
由上面可以看出等式和不等式是并列的平行关系.在研究等式时可以借鉴不等式的有关理论和方法，在解决不等式问题时可以参考等式的有关理论和方法.两者之间可以相互借鉴，互为补充，这样就可以开阔思路，可以更加灵活有效地解决等式与不等式问题.
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