2004年高考数学湖北卷上有一道选择题。原题是这样的：已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有
　　A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条
　　此题被很多专家和老师认同为2004年湖北卷上一道较有创意的好题，它全面的考察了学生对空间点、线、面的认知情况，考题的背后隐藏着丰富的知识背景。解答此题需要较强的空间想象能力和逻辑思维能力，更为称道的是，此题只是“冰山一角”，它提出了一个更一般的命题：与两相交平面成等角的直线问题。下文将围绕这一主旨作一点粗浅研究，仅供参考。
　　
　　如图所示：两个平面相交，空间分成四个不同区域，我们选取有代表性的区域Ⅰ与Ⅱ。考查点P位于这两个区域的情况，显然区域Ⅰ、Ⅱ所在的二面角的平面角是互补关系，为了书写方便不妨设区域Ⅰ所在的二面角的平面角为θ(0＜θ＜π/2)，则区域Ⅱ所在的二面角的平面角为π－θ，点P在α、β外，为了研究的方便，我们把过点P与α、β相交的所有直线分为两类，即过棱l的直线与不过棱l的直线。
　　对于不过棱l的直线，无论点P在区域Ⅰ或Ⅱ，也无论α、β所成的二面角是多大，过点P与α、β所成角相等的直线有且仅有2条。对于过棱l的第二类直线，我们有如下结论：
　　
　　结论1：过棱l且与两平面所成角相等的直线一定在二面角的角平分面上。下面给出结论1的简单证明：
　　如图：在棱l上任取一点M，过P作PA⊥α于A，过P作PB⊥β于B，连接MP，MA，MB，易知∠PMA是MP与α所成的角，∠PMB是MP与β所成的角。由题意可得∠PMA=∠PMB。
　　从而得到RtΔPMA≌RtΔPMB，所以PA=PB，即点P满足到平面α与平面β的距离相等，故点P在α与β的角平分面上，故直线MP在角平分面内。
　　结论2：若二面角的平面角为θ，则角平分面内的直线与两个半平面所成的最大角为θ2。下面给出结论2的简单证明：
　　
　　过点P作棱l的垂面与棱l交于N，连NA，NB，NP，易知NA⊥l，NB⊥l，则∠BNA为二面角的平面角，大小为θ，∠PNA =∠PNB=θ/2，在RtΔPNA中，tan∠PNA=|PA/NA|，在棱I 上任取一点M(异于点N),连接MA，在RtΔPMA中tan∠PMA=|PA/MA|，因为|MA|＞|NA|，所以tan∠PNA＞tan∠PMA，从而∠PMA＜∠PNA，而∠PNA=θ/2，故结论2成立。
　　由上述两个结论，我们可以得到关于第二类直线的一般结论：
　　若较小的二面角大小为θ，直线与两个半平面所成角为α(0＜α＜π/2)，
　　当α＜θ/2时，无论点P在何区域，有且仅有2条；
　　当α=θ/2时，点P若在区域Ⅰ，则有1条，点P若在区域Ⅱ，则有2条；
　　当θ2＜α＜(π-θ)/2时，点P若在区域Ⅰ，则没有，点P若在区域Ⅱ，则有2条；
　　当α=(π-θ)/2时，点P若在区域Ⅰ，则没有，点P若在区域Ⅱ，则有1条；
　　当α＞(π-θ)/2时，点P无论在何区域，这样的直线均不存在。
　　由此可见，与两相交平面成等角的直线究竟有多少，与这两个平面所成的二面角以及直线与平面所成角的大小均有关，要视具体情况而定。
　　http://www.zxkt.com