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谈谈有关四边形的“阅读理解题”的解法

作者：赵　军　 　时间：2007-8-8　　　　本文热度：　　　　等级：
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　　“阅读理解题”一般是先给出一段文字材料，然后提出问题.解答这类题目时，同学们通过阅读材料，领会其中的内容，并加以应用，解决提出的问题.现以有关四边形的一些阅读理解题为例予以说明.
　　
　　一、等对角线四边形问题
　　
　　例1 我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：
　　（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
　　（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60O时，这对60O角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.
　　（2006年北京市）
　　分析：本题以定义的形式，提出了新的数学概念“等对角线四边形”这一新知识点，要理解并结合图形后才能运用，形成一道考查同学们的阅读理解能力以及作图、应用、证明等能力的综合题.
　　解：（1）等腰梯形、矩形等；
　　（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60O时，这对60O角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.
　　已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC = BD，且∠AOD = 60O.
　　求证：BC + AD≥AC.
　　证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE = AC.连接CE，BE.故∠EDO = 60O，四边形ACED是平行四边形.
　　所以△BDE是等边三角形，CE = AD，DE = BE = AC.
　　①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1-1），在△BCE中，有BC + CE＞BE.
　　∴BC+AD＞AC.
　　②当BC与CE在同一条直线上时（如图1-2），则BC + CE = BE.
　　∴BC + AD = AC.
　　综合①，②，得BC + AD≥AC.即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60O时，这对60O角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.
　　
　　二、中点四边形问题
　　
　　例2如图2，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形.连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形.
　　（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形EFGH的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC = BD时，四边形EFGH 为菱形；
　　当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为矩形；
　　当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为正方形；
　　（2）探索三角形AEH，三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论并加以证明；
　　（3）如果四边形ABCD面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？
　　 （2006年四川省内江市）
　　分析：相对来讲，中点四边形是我们比较熟悉的一个概念.本题中，①当对角线相等时，中点四边形为菱形；②当对角线垂直时，中点四边形为矩形；③当对角线既相等又垂直时，中点四边形为正方形.探索三角形与四边形之间的面积关系，可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方这一定理.

　
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