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找三角形中位线，巧解几何题

作者：李艳群　…　 　时间：2007-8-8　　　　本文热度：　　　　等级：

　　三角形的中位线定理揭示了三角形的中位线与第三边之间的位置和数量关系，在解题中被广泛运用到.当所给题目的条件中有中点或能得到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解题.下面介绍找三角形中位线的常用方法.
　　
　　一、 直接得到三角形的中位线
　　
　　例1已知：如右图，EF为△ABC的中位线，AD⊥BC于D，G为BC的中点，连接EG、FD.
　　求证：四边形EFDG为等腰梯形.
　　分析：图中已有两条中位线EF、EG，直接得出EF∥GD，要证明四边形EFDG为等腰梯形，只需证明EG = FD.
　　证明：∵EF、EG为△ABC的中位线，
　　∴EF∥BC，EG∥AC 且EG =1/2AC.
　　又AC与FD相交于F，
　　∴EG 与FD不平行，
　　∴四边形EFDG为梯形.
　　∵AD⊥ BC，F为AC的中点，
　　∴FD =1/2AC.
　　∴FD = EG.
　　∴四边形EFDG为等腰梯形.
　　
　　二、 连接两个中点，得到三角形的中位线
　　
　　例2 已知：如右图，四边形ABCD中，AB = CD，M、N、E、F分别是BD，AC，BC，MN的中点.
　　求证：EF⊥MN.
　　分析：条件中有4个中点，连接EM、EN得到两边中位线，与MN构成等腰三角形，从而轻松解答题目.
　　证明：∵E、M为BC，BD的中点，∴EM =1/2CD.
　　同理 EN =1/2AB.
　　∵AB = CD，∴EM = EN，即△EMN为等腰三角形.
　　又∵F为MN的中点，∴EF⊥MN.
　　
　　三、 证中点，得三角形的中位线
　　
　　例3已知：如右图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，且AE = BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于N.
　　求证：MN∥BC.
　　分析：条件中虽没有说明哪点是中点，但利用平行四边形的性质可证明M、N分别是BE、CE的中点，所以MN是△EBC的中位线.
　　证明：连接EF.
　　∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BF 且AE = BF.
　　∴四边形ABFE为平行四边形.
　　∴M为BE的中点.
　　同理N为EC的中点.
　　∴MN为△EBC的中位线. ∴MN∥BC.
　　
　　四、 作边的中点，从而构造三角形的中位线
　　
　　例4 已知：如图，△ABC中，∠B = 2∠C，AH⊥BC于H，M为BC的中点，求证：AB = 2HM.
　　分析：要证AB = 2HM，取AB的中点D，连接DH，DM.
　　证明：∵M为BC的中点，D为AB的中点,
　　∴DM∥AC,
　　∴∠1=∠C.
　　又∵AH⊥BC，D为AB的中点，
　　∴DH = BD=1/2AB.
　　∴∠B = ∠DHB.
　　又∵∠B =

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