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一、概念不清 例1 若分式方程■=■有增根,则增根是(). A. x=1B. x=1和x=0C. x=0D. 不能确定 错解:当x=1时,x(x-1)=0;当x=0时,x(x-1)=0, 所以当x=1和x=0时都是原分式方程的增根. 选B. 剖析:错解的原因是对分式方程增根的概念理解不透. 正解:方程两边同乘以x(x-1),得6x=x+5. 解得x=1. 检验:当x=1时,x(x-1)=0, ∴ x=1是原方程的增根. 选A. 温馨提示:增根是指把分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根. 二、漏乘 例2 解分式方程:■+■=1. 错解:方程两边同乘以(x-4),得3-x-1=1. 解这个整式方程,得x=1. 检验:当x=1时,x-4≠0, ∴ x=1是原方程的解. 剖析:方程两边同乘以最简公分母时,漏乘了常数项1. 正解:方程两边同乘以x-4,得3-x-1=x-4. 解这个方程,得x=3. 检验:当x=3时,x-4=-1≠0, ∴ x=3是原方程的解. 温馨提示:在方程两边同时乘以最简公分母时,方程的每一项都要乘以最简公分母,不能只在含分母的项中乘以最简公分母,而未乘不含分母的项. 三、漏检验 例3 解分式方程:■=■-1. 错解:方程两边同乘以3(x-2),得3(5x-4)=4x+10-3(x-2). 解这个方程,得x=2. ∴ x=2是原方程的解. 剖析:由于受解整式方程的影响,形成了思维定势,解完后,便大功告成. 事实上,当x=2时原方程的分母为0,没有意义,所以x=2是原方程的增根,应舍去. 正解:方程两边同乘以3(x-2),得 3(5x-4)=4x+10-3(x-2). 解这个方程,得x=2. 检验:当x=2时,3(x-2)=0, ∴ x=2是增根,原方程无解. 温馨提示:检验是解分式方程不可缺少的步骤. 四、丢根 例4 解方程:■=■. 错解:方程两边同除以(2x+1),得■=■. 两边同乘以(x-3)(3x-5),约去分母,得3x-5=x-3, 解得x=1. 经检验,x=1是原方程的解, 所以x=1是原方程的解. 剖析:因为方程两边同除以含有未知数的整式(2x+1),而导致丢根. 正解:方程两边同乘以(x-3)(3x-5),约去分母,得 (2x+1)(3x-5)=(2x+1)(x-3). 当2x+1=0时,方程显然成立,此时x=-■. 当2x+1≠0时,方程两边同除以(2x+1),得 3x-5=x-3. 解得x=1. 经检验,x=-■和x=1都是原方程的解, ∴ x=-■和x=1是原方程的解. 温馨提示:方程两边同除以一个不等于零的数,所得方程与原方程同解;同除以含有未知数的代数式,有可能丢根. 五、忽视分数线的括号作用 例5 解方程■+■=1. 错解:方程两边同乘以x-2,得3-x-3=x-2. 解这个整式方程,得x=1. 检验:当x=1时,x-2≠0, ∴ x=1是原方程的解. 剖析:错解在去分母时,忽视了分数线的括号作用,导致错误. 正解:方程两边同乘以(x-2),得3-(x-3)=x-2. 化简得2x=8,解得x=4. 检验:当x=4时,x-2≠0, ∴ x=4是原方程的解. 温馨提示:分数线具有双重意义,一方面它是除号,另一方面它又代表括号. 在去分母时,如果分子是多项式,应将该多项式用括号括起来. ■ |
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