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分式方程有增根与无解的关系

作者：佚名　 　时间：2010-6-17　　　　本文热度：　　　　等级：★★★
　　有些同学认为分式方程有增根与分式方程无解是同一回事. 事实上并非如此. 分式方程有增根,增根是原分式方程变形后所得整式方程的解,但这个解并不是原分式方程的解,即这个解使最简公分母为0.
　　例1(2009年山西省中考试题)解分式方程■+2=■,可知方程().
　　A. 解为x=2B. 解为x=4C. 解为x=3D. 无解
　　分析:由于2-x=-(x-2),所以方程的最简公分母为(x-2),此时,可在方程的两边同乘以(x-2),化分式方程为整式方程,进而求解检验,注意2不能漏乘最简公分母.
　　解:去分母,得1-x+2(x-2)=-1,解得x=2.
　　当x=2时,x-2=0,
　　所以x=2是增根,原方程无解. 选D.
　　评点:此分式方程有增根,原方程无解. 但不是说只要有增根,方程就无解. 事实上,有增根的分式方程也可能有解.
　　例2(2009年牡丹江市中考试题)若关于x的分式方程■-■=1无解,则a=?摇?摇?摇?摇.
　　分析:关于x的分式方程无解,有两种情况. 当x-1=0,或x=0时,方程出现增根而无解;另外,化分式方程为整式方程,整式方程无解,从而分式方程无解.
　　解:去分母,得x(x-a)-3(x-1)=x(x-1).
　　化简得(a+2)x=3.
　　当a+2=0时,即a=-2,(a+2)x=3无解,从而原分式方程无解.
　　当x=1时,有a+2=3,解得a=1;
　　当x=0时,有(a+2)×0=3,无解.
　　所以a=1,或-2.
　　评点:对于分式方程无解的问题,先将分式方程转化为整式方程,进而把增根代入整式方程,即可求得字母系数的值,要注意使整式方程无解的字母系数也符合题意.
　　例3若关于x的方程■=m无解,求m的值.
　　分析:先去分母,化分式方程为整式方程,进而利用无解的定义讨论.
　　解:一方面,去分母、整理,得 (1-m)x=-4m. ?摇?摇?摇?摇?摇?摇①
　　显然,当1-m=0时,而4m≠0,方程无解,此时,m=1.
　　另一方面,若原方程有增根,即增根为x=3.
　　把x=3代入方程①中,得(1-m)×3=-4m,解得m=-3.
　　综上所述,当m=1,或m=-3时,原分式方程无解.
　　评点:分式方程无解有两种情况,一种是变形后的整式方程本身无解,另一种是整式方程有解,但这些解使最简公分母的值都为零,即为分式方程的增根. ■

　
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