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考点1 求正多边形的边数 例1 若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是?摇 ?摇?摇?摇?摇?摇. 解:设多边形的边数为n,则(n-2)×180°=3×360°. 解得n=8. 评点:n边形内角和等于(n-2)·180°(n?叟3),任何多边形的外角和都等于360°. 掌握多边形内、外角和的规律,是快速解决本题的关键. 考点2 求正多边形的内角 例2 右图是一个五角星图案,中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形,则图中∠ABC的度数是?摇?摇?摇?摇?摇. 解:正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°. 又正五边形的每个内角相等, 故∠ABC=540°÷5=108°. 评点:正n边形具有凸多边形的内角和为(n-2)×180°的性质,同时还具有各内角相等、各边相等的特性. 考点3 求多边形的个数 例3 若n边形所有的边都相等,所有的内角都相等,则这样的n边形叫做正n边形. 如果一个正n边形的每个内角的度数都是整数,那么这样的正n边形共有?摇 ?摇?摇?摇个. 分析:因为正n边形的每个内角的度数都是整数,正n边形的每个外角的度数也是整数,所以n应是360的约数. 解:易求得360的大于2的约数共有22个. 它们是3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. 所以这样的正n边形共有22个. 评点:正n边形的内角和为(n-2)×180°,每一个内角为■=180°-■. 如果一个正n边形的每个内角的度数都是整数,那么只需n是360的约数即可. 考点4 求正多边形的对角线的条数 例4若多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°,则这个多边形的对角线的总条数为?摇?摇?摇?摇. 解:设外角为x,则内角为4x+30°. 因为每一个内角与它的外角互为邻补角, 所以x+(4x+30°)=180°. 解得x=30°. 多边形的外角和为360°,360°÷30°=12. 这个多边形的内角和为(12-2)×180°=1 800°. 在十二边形中,从任意一个顶点出发均可以画9条对角线, 所以对角线的总条数为:■×9×12=54. 这个多边形的对角线的总条数为■×12×(12-3)=54. 评点:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. n边形的一个顶点可以有(n-3)条对角线,有n个顶点,共有■n(n-3)条对角线. 考点5求不规则多边形的角度和 例5如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为?摇?摇?摇?摇. 解:四边形ABPO的内角和为∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°. 因为∠BPO是△PDC的外角, 所以∠BPO=∠C+∠D. 因为∠POA是△OEF的外角, 所以∠POA=∠E+∠F. 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 考点6正多边形的操作 例6将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形. 将纸片展开,得到的图形是(). 分析:把一个正方形按如图所示进行三次折叠,将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形,展开,得到的图形是C. 评点:按照图示方法正确操作,便可得到正确答案. 考点7正多边形的密铺 例7如图,用灰白两色正方形瓷砖铺设地面. 按照前3个图案的排列规律,第6个图案中白色瓷砖的块数应为?摇?摇?摇?摇块. 分析:观察图形知第1个图案中白色瓷砖有5块; 第2个图案中白色瓷砖有(5+3×1)块; 第3个图案中白色瓷砖有(5+3×2)块; …… 第6个图案中白色瓷砖有(5+3×5)块. 解:第6个图案中白色瓷砖有20块. 评点:以我们熟知的用灰白两色正方形瓷砖铺设地面的问题为背景,探究图形的排列规律. 通过由特殊到一般的分析可得,第n个图案中白色瓷砖的块数为[5+3×(n-1)]块.■ |
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