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考点1 求特殊角的三角函数值 例1 计算:|-2|+2sin30°-(-■)2+(tan45°)-1. 解:|-2|+2sin30°-(-■)2+(tan45°)-1 =2+2×■-3+1-1=2+1-3+1=1. 评点:此类试题出现的频率比较高,只要记住特殊角的三角函数值,就容易求解. 考点2 解直角三角形 例2 在△ABC中,∠C=90°,AB=8,cosA=■,则AC的长是?摇?摇?摇?摇?摇. 分析:在△ABC中,∠C=90°,AB是斜边,由于锐角A的余弦值是已知的,所以可利用余弦列式求解. 解:在Rt△ABC中,因为斜边AB=8,cosA=■, 所以cosA=■=■=■,即AC=6. 评点:利用锐角三角函数求边和角时应注意,能用正弦的,一般不用余弦,尽量选用原始数据,以减少失误. 考点3 利用锐角三角函数测量高 例3 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图1). 为了测量雕塑的高度,小明在二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°,底部B点的俯角为45°,小华在五楼找到一点D,利用三角板测得A点的俯角为60°. 已知CD为10米,请求出雕塑AB的高度. (结果精确到0.1米,参考数据■≈1.73) 解:过点C作CE⊥AB于E. 因为∠D=90°-60°=30°, ∠ACD=90°-∠ACE=60°, 所以∠CAD=90°. 而CD=10, 所以AC=■CD=5. 在Rt△ACE中, AE=AC·sin∠ACE=5·sin30°=■, CE=AC·cos∠ACE=5·cos30°=■■. 在Rt△BCE中,因为∠BCE=45°, 所以BE=CE=■■. 所以AB=AE+BE=■+■■=■(■+1)≈6.8(米). 评点:要掌握仰角和俯角的概念. 若遇到的不是直角三角形,可以添加辅助线构造出直角三角形,从而选择边角关系求解. 考点4 利用锐角三角函数决策 例4 为打击索马里海盗,保护各国商船顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务. 某天我护航舰正在某小岛A北偏西45°并距该岛20海里的B处待命. 位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击,船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰(如图2所示),便发出紧急求救信号. 我护航舰接警后,立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援. 问:我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处?(结果精确到个位. 参考数据:■≈1.4,■≈1.7) 解:由图2可知,∠ACB=30°,∠BAC=45°. 作BD⊥AC于D. 在Rt△ADB中,AB=20, 所以BD=AB·sin45°=10■. 在Rt△CDB中,∠ACB=30°, 所以BC=2BD=20■≈28. 所需时间为■(小时)=■×60=28(分钟). 答:我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C. 考点5 利用锐角三角函数说理 例5 ?摇如图3所示,李师傅借助梯子安装天花板上距地面2. 90m的顶灯. 已知梯子由两个相同的矩形面组成,每个矩形面的长都被六条踏板七等分,使用时梯脚的固定跨度为1m,矩形面与地面所成的角α为78°. 李师傅的身高为1. 78m,当他攀升到头顶距天花板0. 05～0. 20m时,安装起来比较方便. 他现在站立在梯子的第三级踏板上,请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据:sin78°≈0. 98,cos78°≈0. 21,tan78°≈4. 70) 解:如图4,作AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F. 因为AB=AC,所以CE=■BC=0.5. 在Rt△AEC和Rt△DFC中, AE=EC×tan78°≈0.5×4.70=2.35. 因为sinα=■=■,所以DF=■·AE=■×AE≈1.007. 李师傅站在第三级踏板上时,头顶距地面高度约为: 1.007+1.78=2.787. 头顶与天花板的距离约为2.90-2.787≈0.11. 因为0.05<0.11<0.20,所以他安装比较方便. 评点:通过解直角三角形,计算后再说明理由,是近年来中考命题的新趋势. 考点6 利用锐角三角函数设计 例6 某大学计划为新生配备如图5所示的折叠椅. 图6是折叠椅撑开后的侧面示意图,其中椅腿AB和CD的长相等,O是它们的中点. 为使折叠椅既舒适又牢固,厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm,∠DOB=100°,那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm?(结果精确到0. 1cm) 解:如图6,连接AC,BD. 因为OA=OB=OC=OB,所以四边形ACBD为矩形. 因为∠DOB=100°,所以∠ABC=50°. 由已知得AC=32. 在Rt△ABC中,AB=■=■≈41.8(cm). BC=■=■≈26.9(cm). 所以AD=BC=26.9(cm). ■ |
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